Равносторонний треугольник площадь, высота, радиус вписанной и описанной

Что такое равносторонний треугольник, площадь равносторонних треугольников, равносторонние треугольники примеры.

Если все углы треугольника равны то, то это равносторонний треугольник и все стороны у такого треугольника равны.

Всё о равностороннем треугольнике!

1. Что такое равносторонний треугольник
2. Высота равностороннего треугольника
3. Площадь равностороннего треугольника
4. Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник
5. Радиус описанной окружности равностороннего треугольника
6. Периметр равностороннего треугольника формула
7. Задача: вписанный квадрат в равносторонний треугольник.
8. Задача: найти высоту равностороннего если известна сторона вписанного квадрата.
9. Задача: найти сторону равностороннего треугольника через площадь.
10. Задача: если радиус описанной окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности то треугольник равносторонний

Что такое равносторонний треугольник

В равностороннем треугольнике все углы равны аксиома.

На странице виды треугольников, мы упоминали о таком виде треугольников, как равносторонний треугольник.

Что из себя представляет равносторонний треугольник!?

Из самого названия видно, что все стороны данного треугольника равны:



Равносторонний треугольник называют еще правильным.

Какой первый интересный вопрос у вас возникает при виде равностороннего треугольника!?

Сколько градусов составляет угол в равностороннем треугольнике!?

Нет!? Не угадал... жаль...

Но тем не менее, раз уж вопрос задан, то узнать сколько градусов составляет угол разностороннего треугольника :

180° разделить на 3...

180°/3 = 60°

Поскольку у нас треугольник равносторонний. то все углы у такого треугольника будут равны...

Равносторонний треугольник максимальный угол

Поисковый запрос -> "равносторонний треугольник максимальный угол" - не может быть максимальный, минимальный угол в равностороннем треугольнике - потому, что угол в равностороннем треугольнике всегда один!

60°



Высота равностороннего треугольника

Формула высоты равностороннего треугольника, если сторону выразить через символ "a", то формула звучит так :

Высота равностороннего треугольника равна , корень из 3 деленное на 2 и умножить на сторону равностороннего квадрата.

Высота равностороннего треугольника формула через сторону

Доказательство :

Докажем что высота равностороннего треугольника равна - корню из 3, умноженное на сторону и деленное на 2.



Если мы опустим высоту из верхнего угла, то это будет биссектрисой, которая в данном случае не только разделит угол пополам, но и сторону противолежащую...

И если верхний угол будет поделен на 2, то он будет равен :

60 / 2 = 30

И если мы прибавим 30 и например оставшийся справа 60, то получим 60 + 30 = 90.

И далее мы можем получить угол между высотой "h" и стороной "a".

180 - 90 = 90

И мы получим прямоугольный треугольник, в котором все стороны обозначены...

...и отсюда мы уже можем вывести по теореме пифагора
c² = a² + b² a² = a²2² + h² = a²4 + h²

Обе стороны умножим на 4, чтобы избавиться от 4 в дроби :

4a² = a² + 4h²

высоту оставляем одну слева и получаем:

4a² - a² = 4h² -> 4h² = 4a² - a² -> 4h² = 3a² -> h² = 3a²/4

И осталось извлечь квадратный корень из правой стороны...

h = √3a²/4 И далее получаем



Площадь равностороннего треугольника

Какая формула для площади равностороннего треугольника!?

Она звучит так:

Площадь равностороннего треугольника равна : корень из 3 деленное на 4, умноженное на сторону в квадрате:


Доказательство :

Доказательство очень простое !

Выше мы уже доказали, чему равна высота... возьмем одну сторону треугольника на высоту h.

Вторая сторона будет равна а/2

И далее нам нужно умножить высоту на сторону, поделив на 2. По правилу вычисления площади прямоугольного треугольника.

Мы получаем предварительный результат:



И поскольку у нас два таких треугольника, то правую сторону надо умножить на 2, две двойки сокращаются.



получаем :



И далее заменим высоту из выше пройденного пункта:





Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник



Или вам может встретиться вторая формула вписанной окружности в равносторонний треугольник :



Почему встречаются две формулы радиуса вписанной окружности!?

Потому, что они выводятся разными путями, хоть они и не похожи - но это одинаковые значения.

Сможете доказать самостоятельно выше озвученный тезис?

Доказательство первой формулы радиус вписанной окружности равностороннего треугольника



Соотношение радиуса вписанной и описанной окружностей 1 : 2(на момент написания данной страницу мы еще это не прошли на сайте)



Отсюда мы получаем, что :

r =13 * h

Подставляем ранее выведенную высоту

r =13 * √32a =

√36a

Доказательство второй формулы радиус вписанной окружности равностороннего треугольника



Не будем здесь доказывать, что два треугольника "ABM" и "AOK" подобные и отличаются в своих размерах и других показателях на коэффициент "Х".

Из этого мы можем создать зависимость:

"r" - относится к отрезку "AK", как "BM" к "AM"

"AK" и "BM" равны одному и тому же а/2.

"AM" - это у нас высота - "h".

Далее мы можем записать эту зависимость как :

r : а2 =

а2 : h

Как вы знаете, что при делении подобные выражения ведут себя не так, как при умножении(скоро и про это напишем), поэтому заменим деление на умножение:

r * 2а =

а2 * 1h

Теперь мы можем избавиться в левой стороне от дроби 2/а, умножив две стороны на а/2 :

r = а2 * а2 * 1h

В последней дроби заменяем "h" на наши значение из пункта 2 и поскольку получается опять деление, меняем знак и переворачиваем дробь( см.: деление дробей)

r = а2 * а2 * 1h =

а2 * а2 * 2√3 * а Парами сокращаем а и 2

r =

а2 * а2 * 2√3 * а

И в итоге получаем :





Радиус описанной окружности равностороннего треугольника

С описанной окружностью доказывается аналогично, лишь с той разницей, что радиус больше в два раза:



Или :





Задача : Вписанный квадрат в равносторонний треугольник.

Докажите, что вписанный квадрат в равносторонний треугольник делит одним углом, сторону треугольника пополам или не делит.



Решение задачи :

Мы знаем, что в равностороннем треугольнике все углы равны 60 :

180°/3 = 60°

И если мы посмотрим на треугольник ABC, то поскольку, все углы данного разностороннего треугольника равны 60°,

То стороны у этого треугольника будут равны между собой.

И одна из сторон совпадает со стороной квадрата.

Поэтому сторона "AB" равна стороне квадрата "BC" и стороне "BE"

Но "BE" не равна "BD". Катет всегда будет меньше гипотенузы.

Если "BE" не равно "BD", то "BD" не равно "AB", что означает, что точка B не находится в середине отрезка "AD".

Отсюда мы делаем вывод :

Угол вписанного квадрата не делит сторону равностороннего треугольника пополам!




Периметр равностороннего треугольника формула

Напишите "формулу периметра равностороннего треугольника":

Обозначается периметр буквой P

Сторону обозначим через - а

Поскольку все стороны у равностороннего треугольника равны,

то периметр равностороннего треугольника будет равен :

3 умноженное на сторону а треугольника:


Формула периметра равностороннего треугольника

P = 3a

Конечно, можно еще представить данную формулу таким образом:

P = a + a + a

Но такого написания, я никогда не встречал.




Задача: найти высоту равностороннего если известна сторона вписанного квадрата.

Условие задачи :

Известна сторона "CB" вписанного квадрата, требуется найти высоту равностороннего треугольника "AM".



В пункте №6 и подпункте 4, мы вывели, что :

Сторона "AB" равна стороне квадрата "BC" и стороне "BE"

Поэтому, высота "AN" маленького треугольника будет равна :



И далее мы уже можем вывести высоту треугольника :





Задача: найти сторону равностороннего треугольника через площадь.

Условие задачи :

Известна площадь равностороннего треугольника "S", требуется узнать его сторону "а".

Я уже вывел площадь равностороннего треугольника в этом пункте, там же было доказательство!

Нам понадобится данная формула для решения выше озвученной задачи!



Нам всего-то навсего нужно выразить сторону "а" через "S"

S = √3 4*a²

Умножаем обе стороны на

4√3

Справа, в выражении дробь сократится, а слева появится данная дробь в перевернутом виде:

S* 4√3 = a²

Далее, чтобы получить сторону через площадь, нам нужно извлечь корень :



Преобразуем :



Преобразуем еще раз:



Ответ задачи : найти сторону равностороннего треугольника через площадь.

Сторона равностороннего треугольника равна корню из площади умноженное на 2, и деленное на корень 4 степени из 3.




Задача: если радиус описанной окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности то треугольник равносторонний

Повстречал вот такой поисковый запрос :

"если радиус описанной окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности то треугольник равносторонний"

Данную формулировку можно перефразировать и будет выглядеть совсем по другому:

Докажите, что радиус вписанной окружности равностороннего треугольника больше в два раза, радиуса описанной окружности
Вообще... эта одна из самых простых задач!

А почему, вы узнаете дальше.

Для доказательства данного утверждения нам понадобится :

Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника, о котором я рассказывал здесь :



И второе - это радиус вписанной окружности равностороннего треугольника, о котором я рассказывал здесь : :



Далее - нужно разделить больший радиус на меньший:

Как вы наверное знаете, что при делении одной дроби н вторую существует правило, по которому вторую дробь нужно перевернуть и знак будет умножить...

После этого, смотрим, что можно сократить


Сокращаются квадратный корень из 3.

Сторона "а".

6 и 3, сокращаются только на 3. Сверху остается 2.

И вообще... из всех только и остается 2.

Т.е. вот мы и доказали, что :

Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника больше в два раза, радиуса описанной окружности